A very efficient and simple to use technique for the solution of nonlinear initial - value problems associated with nonlinear ordinary differential equations of any order and variable coefficient, is presented. Convergence and uniqueness of solutions obtained by the successive approximations scheme of the proposed technique, are thoroughly established. Error upper bound estimates of the obtained solutions are also assessed leading to significant conclusions regarding the improvement of convergence for large time solutions. The iteration scheme can be also successfully extended to nonlinear boundary - value problems. The proposed technique is demonstrated by an illustrative example of a nonlinear initial - value problem for which available result exist
Η μελέτη αυτή αναφέρεται σε μια αποτελεσματική και απλή μέθοδο που προτείνεται για την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων αρχικών τιμών που συνδέονται με οποιασδήποτε τάξης συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές. Η προτεινόμενη μέθοδος ως προς τις λαμβανόμενες προσεγγιστικές λύσεις μπορεί να ενταχθεί στις μεθόδους της τεχνικής των διαταραχών, ενώ ως προς τη βασική της σύλληψη αποτελεί ουσιώδη τροποποίηση της επαναληπτικής μεθόδου Picard. Με βάση την εκτίμηση του σφάλματος της προσεγγιστικής λύσης διατυπώνεται μια αποτελεσματική διαδικασία βελτίωσης της σύγκλισης, κατάλληλη για δυναμικά συστήματα των οποίων η ευστάθεια κίνησης είναι αναγκαίο να ερευνηθεί σε μεγάλα χρονικά διαστήματα. Σύμφωνα με την τεχνική αυτή υποδιαιρείται το επιλεγόμενο αρχικό χρονικό διάστημα σε υποδιαστήματα, για κάθε ένα των οποίων εφαρμόζεται η πρώτη ή η δεύτερη προσέγγιση λύσης, με αρχικές τιμές που αντιστοιχούν στο τέλος του προηγούμενου υποδιαστήματος. Από την επίλυση του αριθμητικού παραδείγματος που παρατίθεται, διαπιστώνεται το πλεινέκτημα της προτεινόμενης μεθόδου ιδιαίτερα σε πολυπαραμετρικά συστήματα.
