Discrete, dissipative/nondissipative, non-gradient structural systems (due to follower loading) described by nonlinear autonomous ordinary differential equations, are critically discussed. Through a Taylor series of these equations, in their most general form, it is found that the first variation coinciding with the Jacobian matrix is a non-symmetric block-matrix consisting of four submatrices properly identified. Attention is focused on perfect linear elastic or nonlinear elastic structural systems associated with trivial precritical equilibrium paths. Using a general approach with qualitative and quantitative criteria the stability of the precritical, critical and postcritical states is thoroughly examined. This analysis is applied to Ziegler's model for which a lot of numerical results are available. New dynamic bifurcations (independent of the structure of the Jacobian matrix) as well as local bifurcations associated with one zero eigenvalue, a double zero eigenvalue and imaginary conjugate eigenvalues (Hopf bifurcation) in a certain region of adjacent equilibria in the neighborhood of a double branching point, are revealed. In this region it is also found that dynamic bifurcations (associated with limit cycles) may occur prior to static bifurcation. New findings for the stability of critical states based on the present nonlinear dynamic analysis contradict previous widely accepted results of the classical (linear) analysis. Local or global bifurcations for both non-gradient and gradient systems even when there is no damping may be associated with chaoslike phenomena. Such phenomena sometimes are quite persistent, a fact which does not allow easy prediction of the long-term response of the system.
Η εργασία αυτή διαπραγματεύεται το μη γραμμικό δυναμικό λυγισμό και τη δυναμική αστάθεια μη συντηρητικών διακλαδικών μη γραμμικά ελαστικών με ή χωρίς απόσβεση δομικών συστημάτων, υποκείμενων σε φόρτιση μεταβαλλόμενης διεύθυνσης. Με εφαρμογή μιας γενικής θεωρητικής ανάλυσης με ποιοτικά και ποσοτικά κριτήρια χρησιμοποιώντας ως προσομοίωμα ένα απλό πρόβολο αποκαλύπτεται μια ολόκληρη σειρά δυναμικών διακλαδώσεων. Για πρώτη φορά βρίσκεται ότι σε περιοχή ύπαρξης γειτονικών ισορροπιών (όπου είναι εφαρμόσιμες οι στατικές μεθόδοι) είναι δυνατή η διακλάδωση σε οριακούς ευσταθείς κύκλους για φορτίο μικρότερο του στατικού λυγισμού. Τα παραπάνω φαινόμενα, καθώς επίσης σημειακοί ή οριακών κύκλων έλκτες, που συνδέονται με φαινόμενα ακανόνιστης (χαοτικής) κίνησης, η οποία διαρκεί ενίοτε πολύ, εμφανίζονται σε μια μικρή περιοχή στη γειτονιά του συνόρου μεταξύ στατικής και δυναμικής αστάθειας. Χαρακτηριστικό της περιοχής αυτής είναι ότι υπάρχει αλληλοεξάρτηση των μεταλυγισμικών δρόμων ισορροπίας.
